Polyform Counts

Units are cubes.

Order	Pieces	Cubes	Sum	Planar	Cubes	Sum
1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	1	2	3
3	2	6	9	2	6	9
4	8	32	41	5	20	29
5	29	145	186	12	60	89
6	166	996	1182	35	210	299
7	1023
8	6922

Shapes

Cubes:

C(n) = n³

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
C(n)	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000	1331	1728

Solids (cuboids):

S(m,n,o) = mno

Triangular Prisms:

P_t(m,n) = mn(n + 1) / 2

# (m deep)
##
###
####

P_t	m=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
n=2	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42
3	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84
4	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140
5	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210
6	21	42	63	84	105	126	147	168	189	210	231	252	273	294
7	28	56	84	112	140	168	196	224	252	280	308	336	364	392
8	36	72	108	144	180	216	252	288	324	360	396	432	468	504
9	45	90	135	180	225	270	315	360	405	450	495	540	585	630
10	55	110	165	220	275	330	385	440	495	550	605	660	715	770
11	66	132	198	264	330	396	462	528	594	660	726	792	858	924
12	78	156	234	312	390	468	546	624	702	780	858	936	1014	1092
13	91	182	273	364	455	546	637	728	819	910	1001	1092	1183	1274
14	105	210	315	420	525	630	735	840	945	1050	1155	1260	1365	1470
15	120	240	360	480	600	720	840	960	1080	1200	1320	1440	1560	1680

Double-Triangle Prisms (n == length of short side; base = 2n-1):

P_dt(m,n) = mn²

  # (m deep)
 ###
#####

P_dt	m=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n=2	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52
3	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117
4	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208
5	25	50	75	100	125	150	175	200	225	250	275	300	325
6	36	72	108	144	180	216	252	288	324	360	396	432	468
7	49	98	147	196	245	294	343	392	441	490	539	588	637
8	64	128	192	256	320	384	448	512	576	640	704	768	832
9	81	162	243	324	405	486	567	648	729	810	891	972	1053
10	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200	1300
11	121	242	363	484	605	726	847	968	1089	1210	1331	1452	1573
12	144	288	432	576	720	864	1008	1152	1296	1440	1584	1728	1872
13	169	338	507	676	845	1014	1183	1352	1521	1690	1859	2028	2197
14	196	392	588	784	980	1176	1372	1568	1764	1960	2156	2352	2548
15	225	450	675	900	1125	1350	1575	1800	2025	2250	2475	2700	2925

Diamond Prisms (A001844):

P_d(m,n) = m(4T(n) - 4n +1)
         = m(2n² - 2n + 1)
         = m(2n(n - 1) + 1)
         = m(n² + (n - 1)²)
        (== centered square numbers x m)

  # (m deep)
 ###
#####
 ###
  #

P_d	m=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n=2	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65
3	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169
4	25	50	75	100	125	150	175	200	225	250	275	300	325
5	41	82	123	164	205	246	287	328	369	410	451	492	533
6	61	122	183	244	305	366	427	488	549	610	671	732	793
7	85	170	255	340	425	510	595	680	765	850	935	1020	1105
8	113	226	339	452	565	678	791	904	1017	1130	1243	1356	1469
9	145	290	435	580	725	870	1015	1160	1305	1450	1595	1740	1885
10	181	362	543	724	905	1086	1267	1448	1629	1810	1991	2172	2353
11	221	442	663	884	1105	1326	1547	1768	1989	2210	2431	2652	2873
12	265	530	795	1060	1325	1590	1855	2120	2385	2650	2915	3180	3445
13	313	626	939	1252	1565	1878	2191	2504	2817	3130	3443	3756	4069
14	365	730	1095	1460	1825	2190	2555	2920	3285	3650	4015	4380	4745
15	421	842	1263	1684	2105	2526	2947	3368	3789	4210	4631	5052	5473

Aztec Diamond Prisms (n == side length or height of quadrant):

P_a(m,n) = 2mn(n + 1)

  ## (m deep)
 ####
######
######
 ####
  ##

P_a	m=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n=2	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156
3	24	48	72	96	120	144	168	192	216	240	264	288	312
4	40	80	120	160	200	240	280	320	360	400	440	480	520
5	60	120	180	240	300	360	420	480	540	600	660	720	780
6	84	168	252	336	420	504	588	672	756	840	924	1008	1092
7	112	224	336	448	560	672	784	896	1008	1120	1232	1344	1456
8	144	288	432	576	720	864	1008	1152	1296	1440	1584	1728	1872
9	180	360	540	720	900	1080	1260	1440	1620	1800	1980	2160	2340
10	220	440	660	880	1100	1320	1540	1760	1980	2200	2420	2640	2860
11	264	528	792	1056	1320	1584	1848	2112	2376	2640	2904	3168	3432
12	312	624	936	1248	1560	1872	2184	2496	2808	3120	3432	3744	4056
13	364	728	1092	1456	1820	2184	2548	2912	3276	3640	4004	4368	4732
14	420	840	1260	1680	2100	2520	2940	3360	3780	4200	4620	5040	5460
15	480	960	1440	1920	2400	2880	3360	3840	4320	4800	5280	5760	6240

Aztec Pyramids (3-D versions of Aztec diamonds; stacked P_a(1, n ... 1)):

Ap(n) =

  ##
 ####     ##
######   ####     ##
######   ####     ##
 ####     ##
  ##

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Ap	4	16	40	80	140	224	336	480	660	880	1144	1456

Stepped Pyramids (stacked S(n, n, 1), S(n-2, n-2, 1), ...):

Sp(n) = n(n + 1)(n + 2) / 6
      [= http://oeis.org/A000292]

Sp(5):

#####
#####   ###
#####   ###     #
#####   ###
#####

Sp(6):

######
######   ####
######   ####     ##
######   ####     ##
######   ####
######

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Sp	1	4	10	20	35	56	84	120	165	220	286	364

Stacked Squares:

Ss(n) = sum(i² for i in range(n+1))
      = n(n + 1)(2n + 1) / 6

######  #####   ####    ###     ##      #
######  #####   ####    ###     ##
######  #####   ####    ###
######  #####   ####
######  #####
######

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Ss	1	5	14	30	55	91	140	204	285	385	506	650

Rectangular Pyramids (stepped roofs):

Pyr	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
n=2	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36
3	10	14	18	22	26	30	34	38	42	46	50	54	58	62	66	70
4	.	20	26	32	38	44	50	56	62	68	74	80	86	92	98	104
5	.	.	35	44	53	62	71	80	89	98	107	116	125	134	143	152
6	.	.	.	56	68	80	92	104	116	128	140	152	164	176	188	200
7	.	.	.	.	84	100	116	132	148	164	180	196	212	228	244	260
8	.	.	.	.	.	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320
9	.	.	.	.	.	.	165	190	215	240	265	290	315	340	365	390
10	.	.	.	.	.	.	.	220	250	280	310	340	370	400	430	460

Pyr	m=19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
n=2	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66
3	74	78	82	86	90	94	98	102	106	110	114	118	122	126	130
4	110	116	122	128	134	140	146	152	158	164	170	176	182	188	194
5	161	170	179	188	197	206	215	224	233	242	251	260	269	278	287
6	212	224	236	248	260	272	284	296	308	320	332	344	356	368	380
7	276	292	308	324	340	356	372	388	404	420	436	452	468	484	500
8	340	360	380	400	420	440	460	480	500	520	540	560	580	600	620
9	415	440	465	490	515	540	565	590	615	640	665	690	715	740	765
10	490	520	550	580	610	640	670	700	730	760	790	820	850	880	910

Triangular Pyramids (parity imbalance likely). Pyt(6):

######  #####   ####    ###     ##      #
#####   ####    ###     ##      #
####    ###     ##      #
###     ##      #
##      #
#

Diamond Pyramids (parity imbalance likely). Pyd(4):

   #
  ###       #
 #####     ###       #
#######   #####     ###       #
 #####     ###       #
  ###       #
   #

n	Pyt	Pyd
1	1	1
2	4	6
3	10	19
4	20	44
5	35	85
6	56	146
7	84	231
8	120	344
9	165	489
10	220	670
11	286	891
12	364	1156
13	455	1469
14	560	1834
15	680	2255
16	816	2736
17	969	3281
18	1140	3894
19	1330	4579
20	1540	5340

Open boxes:

B_o(m, n, o) = mn + 2(m + n - 2)(o - 1)

o=2

B_o	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
n=3	17	22	27	32	37	42	47	52	57	62	67	72	77	82	87	92
4	.	28	34	40	46	52	58	64	70	76	82	88	94	100	106	112
5	.	.	41	48	55	62	69	76	83	90	97	104	111	118	125	132
6	.	.	.	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152
7	.	.	.	.	73	82	91	100	109	118	127	136	145	154	163	172
8	.	.	.	.	.	92	102	112	122	132	142	152	162	172	182	192
9	.	.	.	.	.	.	113	124	135	146	157	168	179	190	201	212
10	.	.	.	.	.	.	.	136	148	160	172	184	196	208	220	232
11	.	.	.	.	.	.	.	.	161	174	187	200	213	226	239	252
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	188	202	216	230	244	258	272
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	217	232	247	262	277	292
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	248	264	280	296	312
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	281	298	315	332
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	316	334	352
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	353	372
18	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	392

o=3

B_o	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
n=3	25	32	39	46	53	60	67	74	81	88	95	102	109	116	123	130
4	.	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152
5	.	.	57	66	75	84	93	102	111	120	129	138	147	156	165	174
6	.	.	.	76	86	96	106	116	126	136	146	156	166	176	186	196
7	.	.	.	.	97	108	119	130	141	152	163	174	185	196	207	218
8	.	.	.	.	.	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
9	.	.	.	.	.	.	145	158	171	184	197	210	223	236	249	262
10	.	.	.	.	.	.	.	172	186	200	214	228	242	256	270	284
11	.	.	.	.	.	.	.	.	201	216	231	246	261	276	291	306
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	232	248	264	280	296	312	328
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	265	282	299	316	333	350
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	300	318	336	354	372
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	337	356	375	394
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	376	396	416
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	417	438
18	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	460

o=4

B_o	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
n=3	33	42	51	60	69	78	87	96	105	114	123	132	141	150	159	168
4	.	52	62	72	82	92	102	112	122	132	142	152	162	172	182	192
5	.	.	73	84	95	106	117	128	139	150	161	172	183	194	205	216
6	.	.	.	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
7	.	.	.	.	121	134	147	160	173	186	199	212	225	238	251	264
8	.	.	.	.	.	148	162	176	190	204	218	232	246	260	274	288
9	.	.	.	.	.	.	177	192	207	222	237	252	267	282	297	312
10	.	.	.	.	.	.	.	208	224	240	256	272	288	304	320	336
11	.	.	.	.	.	.	.	.	241	258	275	292	309	326	343	360
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	276	294	312	330	348	366	384
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	313	332	351	370	389	408
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	352	372	392	412	432
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	393	414	435	456
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	436	458	480
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	481	504
18	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	528

o=5

B_o	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	41	52	63	74	85	96	107	118	129	140	151	162	173	184	195
4	.	64	76	88	100	112	124	136	148	160	172	184	196	208	220
5	.	.	89	102	115	128	141	154	167	180	193	206	219	232	245
6	.	.	.	116	130	144	158	172	186	200	214	228	242	256	270
7	.	.	.	.	145	160	175	190	205	220	235	250	265	280	295
8	.	.	.	.	.	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
9	.	.	.	.	.	.	209	226	243	260	277	294	311	328	345
10	.	.	.	.	.	.	.	244	262	280	298	316	334	352	370
11	.	.	.	.	.	.	.	.	281	300	319	338	357	376	395
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	320	340	360	380	400	420
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	361	382	403	424	445
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	404	426	448	470
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	449	472	495
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	496	520
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	545

o=6

B_o	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	49	62	75	88	101	114	127	140	153	166	179	192	205	218	231
4	.	76	90	104	118	132	146	160	174	188	202	216	230	244	258
5	.	.	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285
6	.	.	.	136	152	168	184	200	216	232	248	264	280	296	312
7	.	.	.	.	169	186	203	220	237	254	271	288	305	322	339
8	.	.	.	.	.	204	222	240	258	276	294	312	330	348	366
9	.	.	.	.	.	.	241	260	279	298	317	336	355	374	393
10	.	.	.	.	.	.	.	280	300	320	340	360	380	400	420
11	.	.	.	.	.	.	.	.	321	342	363	384	405	426	447
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	364	386	408	430	452	474
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	409	432	455	478	501
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	456	480	504	528
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	505	530	555
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	556	582
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	609

o=7

B_o	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	57	72	87	102	117	132	147	162	177	192	207	222	237	252	267
4	.	88	104	120	136	152	168	184	200	216	232	248	264	280	296
5	.	.	121	138	155	172	189	206	223	240	257	274	291	308	325
6	.	.	.	156	174	192	210	228	246	264	282	300	318	336	354
7	.	.	.	.	193	212	231	250	269	288	307	326	345	364	383
8	.	.	.	.	.	232	252	272	292	312	332	352	372	392	412
9	.	.	.	.	.	.	273	294	315	336	357	378	399	420	441
10	.	.	.	.	.	.	.	316	338	360	382	404	426	448	470
11	.	.	.	.	.	.	.	.	361	384	407	430	453	476	499
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	408	432	456	480	504	528
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	457	482	507	532	557
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	508	534	560	586
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	561	588	615
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	616	644
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	673

o=8

B_o	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	65	82	99	116	133	150	167	184	201	218	235	252	269	286	303
4	.	100	118	136	154	172	190	208	226	244	262	280	298	316	334
5	.	.	137	156	175	194	213	232	251	270	289	308	327	346	365
6	.	.	.	176	196	216	236	256	276	296	316	336	356	376	396
7	.	.	.	.	217	238	259	280	301	322	343	364	385	406	427
8	.	.	.	.	.	260	282	304	326	348	370	392	414	436	458
9	.	.	.	.	.	.	305	328	351	374	397	420	443	466	489
10	.	.	.	.	.	.	.	352	376	400	424	448	472	496	520
11	.	.	.	.	.	.	.	.	401	426	451	476	501	526	551
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	452	478	504	530	556	582
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	505	532	559	586	613
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	560	588	616	644
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	617	646	675
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	676	706
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	737

o=9

B_o	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	73	92	111	130	149	168	187	206	225	244	263	282	301	320	339
4	.	112	132	152	172	192	212	232	252	272	292	312	332	352	372
5	.	.	153	174	195	216	237	258	279	300	321	342	363	384	405
6	.	.	.	196	218	240	262	284	306	328	350	372	394	416	438
7	.	.	.	.	241	264	287	310	333	356	379	402	425	448	471
8	.	.	.	.	.	288	312	336	360	384	408	432	456	480	504
9	.	.	.	.	.	.	337	362	387	412	437	462	487	512	537
10	.	.	.	.	.	.	.	388	414	440	466	492	518	544	570
11	.	.	.	.	.	.	.	.	441	468	495	522	549	576	603
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	496	524	552	580	608	636
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	553	582	611	640	669
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	612	642	672	702
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	673	704	735
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	736	768
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	801

o=10

B_o	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	81	102	123	144	165	186	207	228	249	270	291	312	333	354	375
4	.	124	146	168	190	212	234	256	278	300	322	344	366	388	410
5	.	.	169	192	215	238	261	284	307	330	353	376	399	422	445
6	.	.	.	216	240	264	288	312	336	360	384	408	432	456	480
7	.	.	.	.	265	290	315	340	365	390	415	440	465	490	515
8	.	.	.	.	.	316	342	368	394	420	446	472	498	524	550
9	.	.	.	.	.	.	369	396	423	450	477	504	531	558	585
10	.	.	.	.	.	.	.	424	452	480	508	536	564	592	620
11	.	.	.	.	.	.	.	.	481	510	539	568	597	626	655
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	540	570	600	630	660	690
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	601	632	663	694	725
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	664	696	728	760
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	729	762	795
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	796	830
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	865

Ring walls:

Rw(m,n,o) = 2o(m + n - 2)

o=2

Rw	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
n=3	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76
4	.	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	.	.	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84
6	.	.	.	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84	88
7	.	.	.	.	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84	88	92
8	.	.	.	.	.	56	60	64	68	72	76	80	84	88	92	96
9	.	.	.	.	.	.	64	68	72	76	80	84	88	92	96	100
10	.	.	.	.	.	.	.	72	76	80	84	88	92	96	100	104
11	.	.	.	.	.	.	.	.	80	84	88	92	96	100	104	108
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	88	92	96	100	104	108	112
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	96	100	104	108	112	116
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	104	108	112	116	120
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	112	116	120	124
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	120	124	128
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	128	132
18	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	136

o=3

Rw	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
n=3	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114
4	.	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
5	.	.	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120	126
6	.	.	.	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120	126	132
7	.	.	.	.	72	78	84	90	96	102	108	114	120	126	132	138
8	.	.	.	.	.	84	90	96	102	108	114	120	126	132	138	144
9	.	.	.	.	.	.	96	102	108	114	120	126	132	138	144	150
10	.	.	.	.	.	.	.	108	114	120	126	132	138	144	150	156
11	.	.	.	.	.	.	.	.	120	126	132	138	144	150	156	162
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	132	138	144	150	156	162	168
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	144	150	156	162	168	174
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	156	162	168	174	180
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	168	174	180	186
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	180	186	192
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	192	198
18	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	204

o=4

Rw	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
n=3	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152
4	.	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
5	.	.	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160	168
6	.	.	.	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160	168	176
7	.	.	.	.	96	104	112	120	128	136	144	152	160	168	176	184
8	.	.	.	.	.	112	120	128	136	144	152	160	168	176	184	192
9	.	.	.	.	.	.	128	136	144	152	160	168	176	184	192	200
10	.	.	.	.	.	.	.	144	152	160	168	176	184	192	200	208
11	.	.	.	.	.	.	.	.	160	168	176	184	192	200	208	216
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	176	184	192	200	208	216	224
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	192	200	208	216	224	232
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	208	216	224	232	240
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	224	232	240	248
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	240	248	256
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	256	264
18	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	272

o=5

Rw	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180
4	.	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190
5	.	.	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
6	.	.	.	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200	210
7	.	.	.	.	120	130	140	150	160	170	180	190	200	210	220
8	.	.	.	.	.	140	150	160	170	180	190	200	210	220	230
9	.	.	.	.	.	.	160	170	180	190	200	210	220	230	240
10	.	.	.	.	.	.	.	180	190	200	210	220	230	240	250
11	.	.	.	.	.	.	.	.	200	210	220	230	240	250	260
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	220	230	240	250	260	270
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	240	250	260	270	280
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	260	270	280	290
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	280	290	300
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	300	310
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	320

o=6

Rw	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216
4	.	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228
5	.	.	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
6	.	.	.	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240	252
7	.	.	.	.	144	156	168	180	192	204	216	228	240	252	264
8	.	.	.	.	.	168	180	192	204	216	228	240	252	264	276
9	.	.	.	.	.	.	192	204	216	228	240	252	264	276	288
10	.	.	.	.	.	.	.	216	228	240	252	264	276	288	300
11	.	.	.	.	.	.	.	.	240	252	264	276	288	300	312
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	264	276	288	300	312	324
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	288	300	312	324	336
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	312	324	336	348
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	336	348	360
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	360	372
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	384

o=7

Rw	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252
4	.	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266
5	.	.	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
6	.	.	.	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280	294
7	.	.	.	.	168	182	196	210	224	238	252	266	280	294	308
8	.	.	.	.	.	196	210	224	238	252	266	280	294	308	322
9	.	.	.	.	.	.	224	238	252	266	280	294	308	322	336
10	.	.	.	.	.	.	.	252	266	280	294	308	322	336	350
11	.	.	.	.	.	.	.	.	280	294	308	322	336	350	364
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	308	322	336	350	364	378
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	336	350	364	378	392
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	364	378	392	406
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	392	406	420
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	420	434
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	448

o=8

Rw	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288
4	.	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304
5	.	.	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
6	.	.	.	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320	336
7	.	.	.	.	192	208	224	240	256	272	288	304	320	336	352
8	.	.	.	.	.	224	240	256	272	288	304	320	336	352	368
9	.	.	.	.	.	.	256	272	288	304	320	336	352	368	384
10	.	.	.	.	.	.	.	288	304	320	336	352	368	384	400
11	.	.	.	.	.	.	.	.	320	336	352	368	384	400	416
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	352	368	384	400	416	432
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	384	400	416	432	448
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	416	432	448	464
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	448	464	480
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	480	496
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	512

o=9

Rw	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324
4	.	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342
5	.	.	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
6	.	.	.	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360	378
7	.	.	.	.	216	234	252	270	288	306	324	342	360	378	396
8	.	.	.	.	.	252	270	288	306	324	342	360	378	396	414
9	.	.	.	.	.	.	288	306	324	342	360	378	396	414	432
10	.	.	.	.	.	.	.	324	342	360	378	396	414	432	450
11	.	.	.	.	.	.	.	.	360	378	396	414	432	450	468
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	396	414	432	450	468	486
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	432	450	468	486	504
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	468	486	504	522
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	504	522	540
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	540	558
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	576

o=10

Rw	m=3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
n=3	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360
4	.	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380
5	.	.	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400
6	.	.	.	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400	420
7	.	.	.	.	240	260	280	300	320	340	360	380	400	420	440
8	.	.	.	.	.	280	300	320	340	360	380	400	420	440	460
9	.	.	.	.	.	.	320	340	360	380	400	420	440	460	480
10	.	.	.	.	.	.	.	360	380	400	420	440	460	480	500
11	.	.	.	.	.	.	.	.	400	420	440	460	480	500	520
12	.	.	.	.	.	.	.	.	.	440	460	480	500	520	540
13	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	480	500	520	540	560
14	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	520	540	560	580
15	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	560	580	600
16	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	600	620
17	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	640

Potential Puzzles

Puzzles not otherwise noted below have not been implemented or solved.

Initial numbers are the counts of unit cubes in the puzzles.

27: Soma cubes

32: Tetracubes

40: Polycubes of order 2 - 4

• Potential puzzles:
• No solutions:
  • S(10,3,1) + S(10,1,1) steps (= Polycubes234Steps10x3x2_x)
  • X pentomino x 8 high (= Polycubes234CrossTower_x)

41: Polycubes of order 1 - 4

• Potential puzzles:
• No solutions:
  • P_d(4) + P_d(3) + S(3,1,1) (= Polycubes1234DiamondMound_x)
  • P_d(4) + alternating_checkerboard(P_d(4)) (= Polycubes1234DiamondCheckerboard_x)

60: Solid pentominoes

125: 25 pentacubes. E.g. the "stubby" or compact pentacubes, where no dimension is longer than 3, i.e. the pentacubes that individually fit into a 3×3×3 cube: all pentacubes except the I5, L5, N5, & Y5.

• Potential puzzles:
  • 5×5×5 cube
  • double-triangle prism P_dt(5,5)
  • diamond prism P_d(5,4)
  • rectangular pyramid Pyr(15,5)
  • open box B_o(17,5,2)

140: Non-convex pentacubes

• Potential puzzles:
  • P_t(14, 4) (= NonConvexPentacubes4x4x14Steps; 0 solutions?)
  • P_t(5, 7) (= NonConvexPentacubes7x7x5Steps; 0 solutions?)
  • Rw(6,6,7), Rw(7,5,7), Rw(8,4,7), Rw(9,3,7)
  • Rw(5,4,10), Rw(6,3,10)
• No solutions:
  • Rw(8,8,5), Rw(9,7,5), ..., Rw(13,3,5)

145: Pentacubes

• Potential puzzles:
  • Sp(9) - Sp(4) (how?)
  • PentacubesRibbedWall (0 solutions?)
• No solutions:
  • Pentacubes11x11x6Pyramid

150: Pentacubes Plus (= Kadon's Super Deluxe Quintillions)

• Potential puzzles:
  • B_o(16,3,4)
  • B_o(12,5,4)
  • B_o(8,5,6)
  • B_o(8,3,8)
  • Rw(14,13,3), Rw(15,12,3), ..., Rw(24,3,3)
  • Rw(9,8,5), Rw(10,7,5), ..., Rw(14,3,5)
• No solutions:
  • P_t(10,8) - P_t(10,6) (impossible: no room for 3x3 pieces, e.g. X, F, Z)

177: Tetracubes + Pentacubes

182: Tetracubes + Pentacubes Plus

185: Polycubes of order 2 - 5

• Sp(10) - Sp(5) (how?)

186: Polycubes of order 1 - 5

• B_o(17,6,3)
• B_o(11,10,3)
• B_o(12,7,3)
• B_o(11,6,5)
• B_o(8,7,6)
• B_o(8,3,10)
• Rw(18,15,3)
• Rw(17,16,3)

190: Polycubes of order 2 - 5 (Pentacubes Plus)

• Ss(8) - Ss(3)

191: Polycubes of order 1 - 5 (Pentacubes Plus)

210: solid hexominoes

• 35 × 6 = 210 = 2 × 3 × 5 × 7

  Since 2 is a prime factor, there will always be an even dimension. Therefore in a 3-D checkerboard colouring, the number of black and white cubes will be identical, 105 each. But the hexominoes have even black & white colouring. Therefore due to a parity imbalance no simple block solids are possible.

• See http://www.recmath.com/PolyPages/PolyPages/index.htm?Polycubes.html

216: solid hexominoes + 1 duplicate == 6³ == Kadon "Sextillions"

• See http://www.recmath.com/PolyPages/PolyPages/index.htm?Polycubes.html

216: Polycubes of order 1 - 5 plus 5 hexacubes

• [DONE, except for refinements under "Ideas"]

  Polycubes: 3³ + 4³ + 5³ = 6³ (27 + 64 + 125 = 216) (first solution to diophantine 3.1.3 equation)

  The only three consecutive integers whose cubes sum to a cube are given by the Diophantine equation

  3³ + 4³ + 5³ = 6³

  —http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html

  Examples:

  • Cubic dissection, by Eric Harshbarger: http://www.ericharshbarger.org/lego/puzzles.html#cubic_dissection
  • http://puzzlemuseum.com/month/picm08/2008-03-3cubed.htm

  Find a set of polycubes that can form each term of 3³ + 4³ + 5³ (3 cubes simultaneously) and 6³ (separately, with all pieces combined).

  The polycubes don't align perfectly with any of these totals, so there are multiple possibilities:

  1. All polycubes O(1)...O(5) = 186 unit cubes. Add 5 hexacubes to make 216 unit cubes.

     How to choose the 5 hexacubes?

     1. [DONE] Choose the most symmetrical/interesting/diverse? E.g. 5 of Kadon's {A, O, X3, N2b3, T4b4, Q14, Q4b1, B, fat A}.

        Favourite 5: {Ba6/B, O06/O, Tp6/T4b4, Nt6/N2b3, Qe6/Q4b1}

     2. Choose the pieces with the fewest number of aspects?

     3. Choose the most compact pieces? {O, fat A, B, Q14, A}

     Can't choose the "I" piece, because it's 6 cubes long and won't fit in 5³.

  2. All polycubes O(1)...O(3) = 9 unit cubes; use 3 sets to build the 3³ = 27 unit cubes.

     All tetracubes = 32 cubes; use 2 sets to build the 4³ = 64 unit cubes.

     All pentacubes = 145 cubes; exclude 4 pentacubes (which 4 though?) to build the 5³ = 125 unit cubes.

  Ideas:

  • Restrict to 8 pieces in Eric Harshbarger's cubic dissection (http://www.ericharshbarger.org/lego/puzzles.html#cubic_dissection).
  • Limit 3³ to Soma cubes; 4³ = I2 + ; 5³ = O06 + 2² (but not possible if all soma cubes used for 3³; must be e.g. Q5 & V3)

996: Hexacubes

1141: Hexacubes + pentacubes

• [DONE] Andy Niedermaier's Mega-Pyramid is a Pyt(18) solid containing 1140 unit cubes. Have to add one more unit cube to the shape to fit all the hexacubes & pentacubes.
  • Add one unit cube to the top corner?
  • [DONE] Add one unit cube to the center of the stepped face?

1182: Polycubes of order 1 - 6

Misc

• Pentacubes checkerboard parity imbalance (abs(black - white)):

  F I L N P T U V W X Y Z L1 L2 L3 L4 J1 J2 J4 N1 N2 S1 S2 T1 T2 V1 V2 Q A
  1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  3  1  1  1  1 1
  

  Minimum imbalance: 1

  Maximum imbalance: 33

  For Pentacubes Plus or Non-Convex Pentacubes, minimum imbalance = 0.

  Pentacubes Plus maximum imbalance: 34

  Non-Convex Pentacubes maximum imbalance: 32

• Polycubes (order 1 - 4) checkerboard parity imbalance (abs(black - white)):

  M  D  I3  V3  I4  L4  T4  S4  O4  A4  B4  P4
  1  0  1   1   0   0   2   0   0   0   0   2
  

  Maximum imbalance: 7

Links

• Andrew Clarke's Poly Pages
• Kadon's More about Polyominoes and Polycubes
• Kadon's Super Deluxe Quintillions
• Kadon's Poly-4 Supplement